SMP NEGERI 1 SITUBONDO

Tampilkan postingan dengan label Matematika. Tampilkan semua postingan

In quadrilateral ABCD, AB = 6 cm, AD = 4 cm, BC = 7 cm and CD = 15 cm. If the length of AC is an integer number of cm, what is this number?

Jawab:
Kita terjemahin dulu, kira-kira seperti ini:
Pada segiempat ABCD, AB = 6 cm, AD = 4 cm dan CD = 15 cm. Berapakah panjang AC jika AC bilangan bulat (dalam cm)?

Berdasarkan ketaksamaan segitiga:
Pada segitiga ABC didapat AB + BC > AC atau 13 > AC
Pada segitiga ACD didapat AD + AC > CD atau 11 < AC
Sehingga diperoleh 11 < AC < 13. Karena AC bilangan bulat, maka panjang AC = 12 cm

Learn more »

Pada gambar berikut, luas persegi ABDE, CAFG, dan BCHK berturut-turut adalah 25 cm2, 16 cm2, dan 9 cm2. Tentukan luas daerah yang diarsir.

Suatu ketika, seorang guru dan salah satu murid menyelesaikan soal tersebut dengan caranya masing-masing.

Sebagai catatan, keduanya sama-sama telah mengetahui bahwa segitiga ABC siku-siku di C, dengan AB = 5 cm, BC = 3 cm, dan AC = 4 cm

$Luas\: AFBG = \frac{1}{2}\cdot \left ( 4+7 \right )\cdot 4=\frac{44}{2}$

$Luas\: BGF = \frac{1}{2}\cdot 7\cdot 4=\frac{28}{2}$

$Luas\: ABD = \frac{1}{2}\cdot Luas\: ABDE=\frac{1}{2}\cdot 25=\frac{25}{2}$

$Luas\: terarsir=Luas\: ABD+Luas\: AFBG-Luas\: BGF$

$Luas\: terarsir=\frac{25}{2}+\frac{44}{2}-\frac{28}{2}$

$Luas\: terarsir=\frac{25+44-28}{2}$

$Luas\: terarsir=\frac{41}{2}$

$Jadi,\: luas\: terarsir\: adalah\: \frac{41}{2}\: cm^{2}\: atau\: 20,5\: cm^{2}.$

Jawaban sang murid:

Si murid tahu bahwa luas segitiga ABD sama dengan setengah dari luas persegi ABDE yaitu 25/2 cm2.

Segitiga BGF siku-siku di G, dengan menggunakan teorema Pythagoras

$FB=\sqrt{BG^{2}+FG^{2}}=\sqrt{7^{2}+4^{2}}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}$

Dengan menggunakan formula Heron

$\left [ BAF \right ]=\sqrt{\left (\frac{9+\sqrt{65}}{2} \right )\cdot \left (\frac{9+\sqrt{65}-10}{2} \right )\cdot \left (\frac{9+\sqrt{65}-8}{2} \right )\cdot \left (\frac{9+\sqrt{65}-2\sqrt{65}}{2} \right )}$

$\left [ BAF \right ]=\sqrt{\frac{\left (9+\sqrt{65} \right )\cdot \left ( \sqrt{65} -1\right )\cdot \left ( \sqrt{65}+1 \right )\cdot \left ( 9-\sqrt{65} \right )}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}}$

$\left [ BAF \right ]=\sqrt{\frac{\left (9+\sqrt{65} \right )\cdot \left ( 9-\sqrt{65} \right )\cdot \left ( \sqrt{65}+1 \right )\cdot \left ( \sqrt{65} -1\right )}{2^{4}}}$

$\left [ BAF \right ]=\sqrt{\frac{\left (9^{2}-\left (\sqrt{65} \right )^{2} \right )\cdot \left ( \left (\sqrt{65} \right )^{2} -1^{2}\right )}{2^{4}}}$

$\left [ BAF \right ]=\sqrt{\frac{\left ( 81-65 \right )\cdot \left ( 65-1 \right )}{2^{4}}}$

$\left [ BAF \right ]=\sqrt{\frac{16\cdot 64}{2^{4}}}$

$\left [ BAF \right ]=\sqrt{\frac{2^{4}\cdot 8^{2}}{2^{4}}}$

$\left [ BAF \right ]=8$

Dengan demikian,

$Luas\: yang\: diarsir=Luas\: ABD+Luas\: BAF$

$Luas\: yang\: diarsir=\frac{25}{2}+8$

$Luas\: yang\: diarsir=\frac{25+16}{2}$

$Luas\: yang\: diarsir=\frac{41}{2}$

$Jadi,\: luas\: yang\: diarsir\: adalah\: \frac{41}{2}\: cm^{2}\: atau\: 20,5\: cm^{2}.$

Terlepas dari penyelesaian soal tersebut. Saya ingin bertanya, apakah guru harus lebih pintar dari muridnya? Atau, murid seharusnya lebih pintar dari gurunya?
Kalau menurut hemat saya, kemampuan guru memang harus (bahkan wajib) lebih baik dari muridnya. Tapi, murid seharusnya memiliki motivasi untuk melebihi skill gurunya.
Bagaimana menurut kalian? Beri alasannya.

sumber gambar: fianzoner.blogspot.com

# smp negeri 1 situbondo # smpn 1 situbondo # spensasi

Learn more »

Pembuktian dalam (hampir) semua bidang ilmu selain matematika dibangun berdasarkan hasil sebuah percobaan atau eksperimen. Misalkan saja dalam fisika yang mengatakan bahwa setiap benda di muka bumi jatuh ke bawah (pusat bumi). Berdeda dengan matematika, misalnya untuk menunjukkan bahwa “untuk setiap bilangan nyata x lebih dari 0 dan kurang dari 1, maka x² – x akan kurang dari 0”. Bila kita mengatakan x² – x < 0 untuk semua 0 < x < 1 untuk semua x karena untuk x = 0,5, x = 0,25, dan x = 0,1, nilai x² – x semuanya negatif, kita sudah membuat kesimpulan yang melompat (hasty generalization)².

Apakah kita pernah melakukan hal seperti ini? Mungkin bukan hanya pernah, tapi sering (begitupun juga saya). Berikut salah satu contoh soal lain yang berkaitan dengan induksi matematika.

$Buktikan\; bahwa\; 1^{3}+2^{3}+3^{3}\cdots +n^{3}=\left ( 1+2+3\cdots +n \right )^{2},n\in \mathbb{N}$

Jawab:

Langkah pembuktian pertama:

$Untuk\: n = 1,\: maka$

$1^{3}=1=1^{2}$

$Untuk\: n = 2,\: maka$

$1^{3}+2^{3}=1+8=9=3^{2}=\left ( 1+2 \right )^{2}$

$Untuk\: n = 3,\: maka$

$1^{3}+2^{3}+3^{3}=1+8+27=36=6^{2}=\left ( 1+2+3 \right )^{2}$

Langkah pembuktian kedua:

Untuk n = k, maka
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +k^{3}=\left ( 1+2+3+\cdots +k \right )^{2}=\left (\frac{k\cdot \left ( k+1 \right )}{2} \right )^{2}$

Akan dibuktikan untuk n = k + 1 , maka

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +k^{3}+(k+1)^{3}=\left ( 1+2+3+\cdots k+\left ( k+1 \right ) \right )^{2}$

Bukti:

$\left ( 1+2+3+\cdots +k \right )^{2}+(k+1)^{3}$

$\left (\frac{k\cdot \left ( k+1 \right )}{2} \right )^{2}+(k+1)^{3}$

$\frac{k^{2}\cdot \left ( k+1 \right )^{2}}{2^{2}}+\left ( k+1 \right )^{3}$

$\frac{k^{2}\cdot \left ( k+1 \right )^{2}}{4}+\frac{{4\cdot \left ( k+1 \right )\cdot \left ( k+1 \right )^{2}}}{4}$

$\left ( k+1 \right )^{2}\cdot \left ( \frac{4\cdot \left ( k+1 \right ) +k^{2}}{4}\right )$

$\frac{\left ( k+1 \right )^{2}\cdot \left (4k+4+k^{2} \right )}{4}$

$\frac{\left ( k+1 \right )^{2}\cdot \left (k+2 \right )^{2}}{4}$

$\left (\frac{\left ( k+1 \right )\cdot \left ( k+2 \right )}{2} \right )^{2}$

$\left (\frac{\left ( k+1 \right )\cdot \left ( \left ( k+1 \right ) +1\right )}{2} \right )^{2}$

$\left (1+2+3+\cdots +k+\left ( k+1 \right ) \right )^{2}\: \: \: \: \: \: \rightarrow \: \: \: \left (terbukti \right )$

Sumber: 2. Susanto, Hadi. 2015. Tuhan Pasti Ahli Matematika!. Yogyakarta: Bentangpustaka.
Sumber gambar: umarberita.blogspot.com

# smp negeri 1 situbondo # smpn 1 situbondo # spensasi Learn more »

What is the average of all different 9-digits numbers where each consists of the digit 5 five times and the digit 4 four times?

Soal tersebut adalah salah satu soal di buku Siap Olimpiade Matematika untuk SMP/MTs. Berdasarkan informasi soal, kita akan menentukan nilai rata-rata dari 9 angka yang tersedia terdiri atas 5 angka 5 dan 4 angka 4. Untuk menyelesaikan soal ini, saya perlu makan 5 - 7 kali sehari. Iya iya, meskipun saya tidak terlahir jenis tapi saya perlu kenyang dulu untuk memecahkan setiap soal matematika. Saya manusia normal. Nyambung ya?
Oke, kembali kepada soal. Banyak bilangan yang terbentuk dapat ditentukan oleh:

$\frac{9!}{5!\cdot 4!}=\frac{9\times 8\times 7\times 6\times 5!}{5!\cdot 4\times 3\times 2\times 2\times 1}=126$

Dengan demikian, banyaknya bilangan berbedar yang terbentuk adalah 126 bilangan. Kemudian kita tentukan banyaknya bilangan 5 dan 4 dalam setiap kolom seperti gambar berikut. Kolom 9 adalah kolom satuan, kolom 8 adalah kolom puluhan, dan seterusnya.

Sehingga:

$Banyak\: angka\: 5=\frac{5}{\left (5+4 \right )}\times 126=70$

$Banyak\: angka\: 4=\frac{4}{\left (5+4 \right )}\times 126=56$

Dalam setiap kolom, terdapat angka 5 sebanyak 70 dan angka 4 sebanyak 56. Kemudian kita jumlahkan saja ke 126 bilangan tersebut seperti ilustrasi di bawah ini

Kita peroleh bahwa jumlah semua bilangan tersebut adalah 63.777.777.714. Dengan demikian,

$\bar{x}=\frac{63.777.777.714}{126}=506.172.839$

Jadi, nilai rata-rata semua bilangan 9 angka yang dimaksud adalah 506.172.839.

sumber gambar: www.kompasiana.com

# smp negeri 1 situbondo # smpn 1 situbondo # spensasi

Learn more »

Selamat Datang Di Delapan SPENSASI

Ayo Segera Miliki (Klik)!

Ayo Gabung Delapan Spensasi

Masalah Ketaksamaan Segitiga

Lebih Pintar Guru atau Murid

Hasty Generalization

5 Angka 5 dan 4 Angka 4

Apa Yang Kamu Cari?

Most View