数学学習の記録 389 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.3(曲線の長さ), 点の運動する距離

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第20章(面積, 体積, 長さ-積分法の応用)の20.3(曲線の長さ), 媒点の運動する距離の問29, 30を解いてみる。

問29

(1)

v(t)=27-1.8t=0

t=15

$\int_{0}^{15}v(t)dt$

$=[27t-0.9t^{2}]_{0}^{15}$

=202.5

以上より、電車はブレーキをかけてから15秒後に202.5m走って停車する。

(2)

$\int_{0}^{t_{0}}v(t)dt=180$

$[27t-0.9t^{2}]_{0}^{t_{0}}=180$

$0.9t_{0}^{2}-27t_{0}+180=0$

$t_{0}^{2}-30t_{0}+200=0$

$(t_{0}-20)(t_{0}-10)=0$

また、(1)より

$t_{0}<15$

なので、ブレーキをかけてから180mは知るのには10秒かかった。

問30

(1)

$\int_{0}^{1}v(t)dt$

$=[30t-4.9t^{2}]_{0}^{1}=25.1$

1秒後の地面からの高さは35.1m

同様に計算して、4秒後の地面からの高さは51.6m

(2)

30-9.8t=0

t=30/9.8=(約)30.06

よって30/9.8秒のとき物体は最高の高さに達するので、その高さは約55.9m

(3)

(2)から

$45.9+\int_{0}^{5-\frac{30}{9.8}}9.8tdt$

$=45.9+[4.9t^{2}]_{0}^{5-\frac{30}{9.8}}$

=(約)64.3

よって投げ上げてから5秒間に問題の物体が動いた距離は約64.3m

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