数学学習の記録 371 "微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.3(積分の性質と計算)、1つの計算練習

2010年11月29日月曜日

"微分法の応用・積分法・積分法の応用・行列と行列式 (数学読本)"の第19章(細分による加法-積分法)の19.3(積分の性質と計算)、1つの計算練習の問35を解いてみる。

問35

x= sin θ (0<=θ<=π/2)

とおくと、

dx/dθ = cos θ, dx=cos θ dθ

よって

左辺

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin^{2}\theta)^{n}\cos\theta d\theta$

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n+1}\theta d\theta$

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n+1}\theta d\theta$

$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n+1}xdx$

=右辺

(証明終)