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종이접기는 처음에 어디서부터 시작되었는지 알려져 있지 않으나, 헝겊을 접는 기술에서 발달한 것으로 추측되고 있다. 오늘날 종이접기는 전통적인 접기 기술이 수백 가지에 이르는 것으로 알려진 일본에서 가장 발달되어 있으며, 이런 기술을 전문적으로 다루는 책과 잡지도 많이 있다. 일본의 종이접기는 크게 2가지로 나눌 수 있다. 하나는 선물을 보낼 때 그 선물에 장식으로 얹어 보내기 위한 의례적 예법에서 애용되는 경우이고, 다른 하나는 우리가 보통 알고 있는 종이접기로 새, 동물, 물고기, 곤충, 꽃, 인형과 같은 여러 가지 물체를 접는 경우이다. 우리나라에서도 종이접기 자격증이 생기는 등 종이접기에 대한 관심이 점점 많아지고 있다.

여러 가지 종류의 종이접기는 영재를 위한 수업에서도 적극 활용되고 있는데, 여기서 종이를 접었을 때 생기는 흔적으로부터 얻을 수 있는 수학에 대하여 알아보자. 먼저, 단순한 경우만 생각하여 종이는 직사각형 모양이라고 가정하고, 접는 방법은 수직방향으로 한가운데를 접는 경우만 고려하자. 그러면, 종이의 왼쪽 부분을 오른쪽으로 접는 경우와 오른쪽 부분을 왼쪽으로 접는 경우가 있는데, 얼핏 생각하면 같은 결과가 될 것 같지만 실제로 접어보면 전혀 다른 결과가 된다. 따라서 이 두 가지 경우를 분리하여 종이의 왼쪽 부분을 오른쪽으로 접는 것을 R, 오른쪽 부분을 왼쪽으로 접는 것을 L이라 하자. 다음 그림은 R과 L을 나타낸 것이다.

이렇게 직사각형 모양의 종이를 이런 직사각형 모양의 접은 흔적은 위로 튀어 오른 마루와 아래로 접힌 자국의 골로 되어 있다. 종이를 접는 순서에 따라 종이의 골과 마루가 어떤 차례로 나타나는지와 펼친 흔적으로 처음에 종이를 어떤 방법으로 접었는지를 탐색하는 방법을 알아보자.

먼저 오른쪽 한 방향으로 접는 경우를 살펴보자. 예를 들어 세 번 접으면 아래 그림과 같은 결과를 얻을 수 있는데, 여기서 실선은 마루, 점선은 골을 나타낸다.

종이를 오른쪽으로 세 번 접고 펼친 모양, 실선으로 표시된 마루와 점선으로 표시된 골이 나타난다.

이 그림에서 알 수 있듯이 종이를 3번 접는 경우는 골과 마루를 합하여 7번 나타나게 된다. 일반적으로, 직사각형 모양의 종이를 한 방향으로 반씩 접을 때마다 직사각형의 개수는 2배씩 늘어난다. 따라서 직사각형 종이를 n번 접었을 때 나누어진 직사각형의 개수는2ⁿ개가 된다. 위의 그림에서는 3회 접었으므로 나누어진 직사각형이 2³=8개가 됨을 알 수 있다.

한편 한가운데의 골을 중심으로 대칭되는 위치에 있는 것은 한쪽이 골이면 반대편은 마루가 되므로 마루는 골보다 1개 적다. 또한 마루와 골은 나누어진 직사각형 모양의 사이에 있으므로 마루와 골을 합친 수는 나누어진 직사각형의 수보다 1개 적다. 이 결과를 생각해보면, 골의 개수는2^n-1개이고 마루의 개수는2^n-1-1개임을 알 수 있다.

이제 펼쳐진 모양을 보고 종이를 어떻게 접은 것인지 알아보기 위하여, 접은 종이의 흔적에서 점선으로 표시되는 골은 0으로 실선으로 표시되는 마루는 1로 나타내보자. 그리고 n번 오른쪽으로 접은 종이의 흔적을 나타낸 0과 1의 배열을C_n이라고 하자.

이와 같이 문자나 특별한 메시지를 0과 1로 변환하는 것을 코드화(encode) 또는 부호화라고 하는데, 미리 약속된 일정한 규칙에 따라 어떤 메시지나 신호를 부호로 변환하는 것을 말한다. 이때C_n과 같이 0과 1로 나타낸 것을 코드 또는 부호라고 한다. 앞의 종이접기를 코드화 하면 각 단계의 코드는 다음과 같다.

이를 잘 살펴보면 다음과 같은 규칙이 있음을 알 수 있다.

(1) 맨 처음 접은 한가운데 0을 중심으로 대칭되는 위치에 있는 숫자는 한쪽이 1이면 반대쪽은 0이다.
(2)C_n에서 가운데 0을 중심으로 한 뒷부분은C_n-1과 같다.

예를 들어 C₃=1100100인데, 가운데 0의 오른쪽의 100은 C₂와 같다는 이야기다. 그러면 C₃의 앞부분인 110은 C₂=100과 무슨 관계가 있을까? C₂의 순서를 뒤집은 것을 C₂ ^*라 하면 C₂ ^*=001이다. 001이라는 배열에서 0을 1로 1을 0으로 바꾸면 110이 되는데 이를 C ₂ ^*라 하자. 그러면 C₃는 C₃ = C ₂ ^*0 C₂ 임을 알 수 있다.

위와 같은 방법으로 일반적으로 아래가 성립함을 알 수 있다.

(3) C_n에서 생긴 골과 마루는C_n+1에서도 변하지 않고 유지된다.

예를 들어, 어느 방향으로 4번을 접었던 종이로 코드화한 코드C₄가 110110001100100이라고 하자. 이 종이가 오른쪽 방향으로 4번 접었던 것이라면C₃이고 C ₃ ^*=1101100이므로 C₄= C ₃ ^*0C₃ =110110001100100이어야 한다. 따라서 이 종이는 오른쪽으로 4번 접었다는 것을 알 수 있다. 그러나 코드가 101101101100100이라면 C ₃ ^*=1101100이 아니므로 오른쪽 한 방향으로 접은 종이가 아니라는 것을 알 수 있다.

이번에는 종이를 오른쪽과 왼쪽으로 차례로 번갈아가며 접은 경우인 RLRLRL…RL을 살펴보자. 이 경우도 골과 마루의 개수는2^n-1개이지만, 다음 그림에서 알 수 있듯이 골과 마루가 한쪽 방향으로 접은 것과는 전혀 다르게 된다. 여기에서도 다음과 같은 일반적인 규칙을 찾을 수 있다.

(1) 한가운데 0을 중심으로 대칭되는 위치에 있는 숫자는 한쪽이 1이면 다른 쪽은 0이다.
(2)D_n에서 가운데 0을 중심으로 한 오른쪽 부분은D_n-1을 거꾸로 한 것과 같다.

즉, 코드D₂ ^*는 코드D₂에서 순서를 거꾸로 배열한 것이고, 코드 D ₂는 코드D₂에서 1일 때는 0으로 0일 때는 1로 바꾸어 놓은 것이라 하자. 즉, D₂=100일 때D₂ ^*와 D ₂는 다음과 같다.

그러면, D₃=D ₂0D₂ ^*임을 알 수 있다. 일반적으로 아래가 성립한다.

(3)D_n에서 생긴 골과 마루는D_n+1에서도 변하지 않고 유지된다.

만일 종이를 오른쪽, 왼쪽뿐 아니라 위(U)와 아래(D)로 접은 것을 고려할 수도 있다. 그러면 앞에서와 같은 방법으로 RURU, RDRD, LULU, LDLD와 같은 종이접기의 경우도 각각 코드화할 수 있지만, 이런 경우는 보다 복잡하고 많은 설명이 필요하다. 오늘날 코드는 컴퓨터뿐만 아니라 디지털 세계를 살고 있는 인류에게는 필수불가결한 존재가 되었다. 또한 거의 대부분의 정보와 지식은 0과 1로 코드화되어 인터넷 공간을 돌아다니고 있다. 이런 첨단과학의 원리를 전통적인 놀이인 종이접기에도 적용할 수 있다는 점은 흥미롭다. 수학은 과거와 미래를 연결해주는 학문이다.