Una de las anécdotas más conocidas de las que se asocian con el filósofo y matemático Bertrand Russell es su famosa demostración de que «Si 2+2=5, entonces yo soy el Papa». Parece ser que la historia ocurrió tal que así:
Estaba Bertrand Russell dando una charla sobre sistemas lógicos cuando afirmó que si se partía de una premisa falsa, entonces se podía demostrar cualquier cosa. Una de las personas que estaba escuchando le preguntó:
– Entonces, ¿si suponemos cierto que 2+2=5, entonces puede demostrar que usted es el Papa?
A lo que Russell contesto afirmativamente, demostrándolo de la siguiente forma:
– Supongamos que 2+2=5. Entonces, restando 3 a ambos lados obtenemos que 1=2. Como el Papa y yo somos dos personas y 1=2, entonces el Papa y yo somos uno. Por tanto, yo soy el Papa.
Sublime, como casi siempre, el señor Russell.
La cuestión es la siguiente: ¿cómo podríamos escribir esta características en términos de la lógica clásica? Es decir, ¿hay alguna forma de demostrar mediante la lógica clásica que si añadimos a un sistema lógico una premisa falsa entonces podemos obtener como conclusión cualquier cosa? Pues sí, claro que la hay. Vamos a verla.
Pero antes vamos a recordar un par de cuestiones de Lógica relacionadas con la conjunción y la disyunción.
La conjunción, , es una conectiva cuyo significado es «y». Es decir, dadas dos proposiciones
la proposición
se lee A y B. Es sencillo ver a partir de esto que el hecho de que
sea cierta es equivalente a que lo sean tanto
como
por separado. Por ello, si partimos de que
es cierta, podemos usar la regla denominada «eliminación de la conjunción» y quedarnos con cualquiera de las dos proposiciones iniciales.
Por otra parte, la disyunción, , es una conectiva cuyo significado es una «o» no exclusiva. Es decir, dadas dos proposiciones
, la proposición
se lee A o B, y significa que el hecho de que
sea cierta equivale a que lo sea
, lo sea
o lo sean las dos (por lo de que no es exclusiva). En consecuencia, si partimos de que una cierta proposición
es cierta, se puede usar la regla denominada «introducción de la disyunción» y formar con ella la disyunción entre
y cualquier otra proposición que queramos introducir.
Explicado esto ya tenemos las herramientas necesarias para demostrar que si introducimos una premisa falsa en nuestro sistema podemos demostrar cualquier cosa. Si una proposición es cierta, entonces su negación,
, es falsa. Lo que vamos a demostrar es que si para una proposición
cualquiera tomamos ciertas tanto a dicha proposición como a su negación (es decir, tomamos cierta la conjunción
), entonces es cierta cualquier otra proposición
:
Partimos de
(1)
De ahí obtenemos
(2)
por eliminación de la conjunción en (1). De aquí obtenemos
(3)
por introducción de la disyunción en (2). Ahora, también tenemos que es cierta
(4)
por eliminación de la conjunción en (1). Y ahora, como (3) nos dice que o es cierta
, o lo es
o lo son las dos, y, por otro lado, (4) nos dice que es cierto
, la consecuencia que sacamos es que es cierta
(5)
Por tanto, si añadimos una premisa falsa a nuestro sistema lógico entonces podemos obtener como conclusión cualquier cosa.
La regla que se ha usado para obtener (5) se denomina «silogismo disyuntivo», y dice que si son ciertas y
entonces debe ser cierta
.
Ah, y quiero destacar que en Gaussianos ya se había comentado esta anécdota de Russell en este comentario de Asier hace ya unos años.
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Sólo como apunte adicional: el “silogismo disyuntivo” también es conocido por «modus tollendo ponens» (MTP)
Yo hubiese hecho:
Hay que demostrar que
Para todo B…
FALSE => B
(una cosa falsa implica cualquier cosa)
La implicación tiene la siguiente tabla lógica:
Implicación (TRUE, TRUE) = TRUE
Implicación (TRUE, FALSE) = FALSE
Implicación (FALSE, TRUE) = TRUE
Implicación (FALSE, FALSE) = TRUE
Por tanto, una implicación que parta de FALSE es siempre cierta, sea lo que sea la conclusión B.
En lugar de FALSE podíamos haber puesto «A ^ Not(A)» pero me pareció que era meter complicaciones innecesarias.
[…] Si partimos de algo falso podemos demostrar cualquier cosa […]
Es lo que utilizan los independentistas catalanes: Como «derecho» puede ser, legal o ilegal, lícito o ilícito, bueno o malo, cierto o falso, el «derecho a decidir», pese a no vulnerar el libre albedrío, puede resultar tan falso como 3=5.
A mi me lo enseñaron como fórmula tautologica (de la que, por tautológica, puede salir una regla de inferecia). Con la tabla de verdad se ve fáiclmente que el implicador es siempre verdadero con cualquier supuesto sobre la verdad de las fórmulas A y B que componen la fórmula de partida (el implicador es falso sólamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso. En este caso el antecedente es siempre falso).
A_y_no-A —> B
V_(F)_F__(V)__V
V_(F)_F__(V)__F
F_(F)_V__(V)__V
F_(F)_V__(V)__F
Por cierto, me recordó algunas expresiones coloquiales como esta:
«Si X entonces yo soy cura»
Por ejemplo, «Si él es científico entonces yo soy cura» o «Si esto es buena comida entonces yo soy cura», etc.
Si partimos de la evidencia de que quien lo dice no es santo ni cura dicha afirmación es lógicamente equivalente a decir que X es falso.
En México existe un dicho para cuando alguien hace una soposición absurda, se responde: «Y si mi abuelita tuviera ruedas, sería bicicleta»
¿El título no estaría mejor si pusiéramos introducir en vez de partir?
Que yo sepa se parte de una proposición cierta y luego se introduce la falsa.
No Aristóteles.
En el ejemplo de Bertrand Russell se parte de que 2+2=5. No se introduce después esa falsedad sino que es el punto de partida. Y partir de eso (o suponiendo que eso fuese cierto) concluye que él es el mismísimo Papa de Roma.
Efectivamente. Honor a Bertrand Russell.
El punto de partida es que 2 + 2 = 4. Imagina que desconoces esta sentencia, o que también ignoras que 2 = 2 (por ejemplo simboliza 2,5). ¿Cómo sabrías entonces que 2 + 2 = 5 es falso?
Lo verdadero se establece por referencia a un conjunto de evidencias y dentro de un contexto; lo falso se proclama falso porque contradice la evidencia.
Si 2 + 2 = 5 no ves que es falso…. Quizás debas desconectarte de Matrix.
Imagínate que no sabes leer ni hacer ecuaciones. Entonces difícilmente sabrás si estos caracteres te dicen algo y es más, no sabrás si es verdad o mentira.
Eso de acido me recordo cuando haciamos esquemas con puertas AND y OR.
Aunque lo recuerdo diferente,
True and true – true
False and false – true
True and false – false
False and true – false
TRUE&TRUE=TRUE
Pondria la de or, pero me qedo sin batería.
Me ha gustado el artículo. Un saludo.
En la Wikipedia hay una entrada sobre «2+2=5» http://es.wikipedia.org/wiki/2_%2B_2_%3D_5 en la qwue hablan un poco de este tema… Y adivina qué blog pseudo-hijo de éste sale en las referencias xD
Hola a todos, después de leer el artículo y el ejemplo me surge una duda. Partimos de la premisa de que 2+2=5, pero seguimos sabiendo restar, no? (no os lo toméis a coña 🙂 y se siguen cumpliendo el resto de reglas/leyes matemáticas). Si restamos 3 a ambos miembros 2+2-3=5-3 pues dependiendo de cómo realicemos la operación del primer miembro de la ecuación (ya estamos asumiendo que no se cumple que (a+b) – c = a + (b – c)) (2+2) – 3 = 5 -3 -> 5 – 3= 5 – 3 con lo que ya no se cumple… Lee más »
A alguien que demuestre algo así, se merece el premio anti Nobel.
VeoVeo, lo que digo es que si partimos que 2 + 2= 5 entonces habría que considerarlo verdadero, no falso. En la anécdota, de hecho, lo hacen y puedes leerlo: «si suponemos cierto que 2+2=5…». Yo también puedo suponer cierto un mundo alternativo en que Russell sea el Papa y no un filósofo; o que la evolución de la especie haya producido unicornios para verlos en el zoo; o que este fantástico blog haya ganado el premio Bitácoras.com. Pero si lo hago, no puedo decir que parto de una premisa falsa. En realidad, es todo lo contrario, me he imaginado… Lee más »
No estoy de acuerdo con el razonamiento, Diamond. Con esas líneas solo podemos deducir que si usamos una proposición cierta y su contraria falsa, podemos demostrar que es cierto lo que sea.
PERO EL PROBLEMA es q haces uso de ambas; pero si partimos solo de una proposición falsa, cuya falsedad desconocemos, y/o solo usamos esa proposición, no podemos concluir cualquier cosa.
Estupenda síntesis, Artila. Si prescindimos de lo verdadero, también prescindimos automáticamente de lo falso, no sabremos en qué nos equivocamos, perdemos la guía, desconocemos el error. ¿Cómo puede uno formar conceptos como “equivocación” o “error” mientras ignora completamente lo que es correcto?
Quizás el planteamiento debe asumir alguna obviedad previa:
(SABIENDO QUE 2 + 2 = 4), si suponemos (ADEMÁS) cierto que 2 + 2 = 5 podremos demostrar cualquier cosa.
false => p, porque false => p es equivalente a no false o p, lo cual es true o p, y true es absorbente de la disyunción. 🙂 Asumiendo lo que sabemos tradicionalmente, decir que 2+2=5 es decir false Asumir 2+2=5 es true, es decir que false es true, true es el elemento neutro de la equivalencia… That’s all, asumir 2+2=5 es true y llegar a p, p cualquier proposición es decir no false o p, que como se explica en este comentario es true La lógica proposicional es un álgebra, como cualquier otra, donde los operadores son lógicos, luego… Lee más »
Aristóteles dijo: «… si partimos que 2 + 2= 5 entonces habría que considerarlo verdadero, no falso.» Efectivamente, la demostración de Russell dice: «Supongamos que 2+2=5.», es decir, propone que pensemos (creamos) que es verdadero, aunque ya sabemos que no lo es, porque también nos ha dicho que es un «ejemplo» en el que partimos de una premisa falsa, pero aún así, nos pide que «supongamos» que es cierto. Sobre el resto de la demostración no voy a añadir nada nuevo, porque me parece que está suficientemente claro. Sólo quiero destacar que, esta es la regla básica de la demagogia.… Lee más »
Creo que para demostrar que vale el silogismo disyuntivo se usa que A y no A nunca son verdaderas simultáneamente. La prueba sería: Si vale A v B luego su negación es falsa (acá se usa ese axioma) y tenemos ¬(A v B) = ¬A ^ ¬B es falsa pero como ¬A es cierta tenemos que la única posibilidad es que ¬B sea falsa, en ese caso B es verdadera. En por lo menos dos pasos usamos que A es verdadera si y solo si su negación es falsa.
Suponer significa que lo uses como hipótesis, no estás diciendo que es verdad en tu lógica, es verdad en el comienzo de la demostración y en el contexto de la suposición. Eso es lo que es. Supongamos que existe un triángulo rectángulo de catetos 1,1, e hipotenusa p/q (p, q enteros, q no nulo, p, q coprimos), entonces podemos decir usando el teorema de pitágoras que la raíz cuadrada de 2 es un número racional (lo cual no es cierto). Pudimos probar esa afirmación, porque partimos de algo falso y asumirlo al inico de la demostracion Significa 1) Hipotenusa de… Lee más »
Recuerden que las demostraciones lógicas hoy en día se pueden programar en un computador…
De modo que lo importante, más que filosofar es preceder operativamente 😉
Russell fue filósofo también (filosofía de la lógica), pero en el campo de la lógica entran sus contribuciones matmáticas, sobre todo una vez que publicó su célebre libro con Withehead (Principios de las Matemáticas). Me gustaría recalcar de modo operativo, que este asunto no tiene vuelta ni ambigüedad. Pueden verlo así (false constante lógica, p,r,s proposiciones lógicas): 1) false 3) r /\ (r => s) => s, con r:= false, s:=p (sustitución textual) 4) p Donde se concluye p, por vacuidad y usando modus ponens otra vez. O les dejo la expresión lógica no ambigua: \usepackage{amssymb,amsmath} false \Rightarrow false \equiv… Lee más »
Por buscarle la punta, debería decirse «partiendo de una contradicción…» La proposición P puede ser falsa, pero de ella no se sigue cualquier cosa a no ser que se incluya en la deducción la proposición noP como verdadera. Más de una vez me ha ocurrido tener que aclarar esto a gente que dice que tal modelo científico parte de una falsedad (por estar simplificado, p.e.) y que por tanto puede deducir cualquier cosa. Por ejemplo, un modelo del sistema solar puede partir de planetas simplificados a puntos en el espacio. El modelo puede ser perfectamente consistente y no deducir cualquier… Lee más »
O el papa es Russell, todo ello no es mas que una especie de coña-juego-reto, manipulando conceptos verdaderos llegar a una verdad a partir de una falsedad. Pero en cualquier demostración si partimos o usamos una falsedad y llegamos a una verdad, la demostración sigue siendo errónea y lo queremos demostrar no podemos decir que sea cierto o falso. En cuanto a lo que algunos han eludido a que si no sabes escribir 2+2=4 no puedes decir que es cierto es rotundamente falso. El lenguaje matemático no implica que el ser humano no pueda o sepa contar. Todos podemos decir… Lee más »
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