数学学習の記録 460 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.2(自然数, 整数)の問題1.2, 4, 5

mはa,b,・・・,lの公倍数である。Mをa,b,・・・,lの最小公倍数とすると、

m=kM

となる整数kが存在する。ここで、

$p_{1}^{\mu _{1}} p_{2}^{\mu_{2}}\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ p_{s}^{\mu_{s}}=kM$

となるのでkは1またはs個の素数のいずれかになる。

k= $p_{1}$ と仮定すると、

$p_{1}^{\mu_{1}-1}p_{2}^{\mu_{2}}\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ p_{s}^{\mu_{s}}=M$

となる。すると、a,b,・・・,lのうち、素因数分解で $p_{1}^{\mu_{1}}$ があらわれる正の整数をMで割る事が出来なくなる、すなわちMが最小公倍数であるという仮定と矛盾する。他の素数の場合も同様。よってk=1、すなわちmはa,b,・・・,lの最小公倍数である。

dはa,b,・・・,lの公約数である。これより大きい約数が存在すると仮定すると、

$p_{1}^{\delta_{1}+1}p_{2}^{\delta_{2}}\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ p_{s}^{\delta_{s}}$

等 $\delta_{i}$ のいずれかに1以上を加えた約数が存在する事になるが、それではa,b,・・・,lのうち上記の場合だと $p_{1}^{\delta_{1}}$ があらわれる整数を割ることができなくなる。よって仮定と矛盾する。

ゆえにdはa,b,・・・,lの最大公約数である。

(証明終)

zを等式に代入して両辺にnのk乗をかけると、

$c_{0}m^{k}+c_{1}nm^{k-1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +c_{k-1}n^{k-1}m+n^{k}c_{k}=0$

$c_{0}m^{k}+c_{1}nm^{k-1}+\cdot\ \cdot\ \cdot\ +c_{k-1}n^{k-1}m=-n^{k}c_{k}$

この左辺はmで割り切れるので、右辺もmで割り切れる。そして(m,n)=1(mとnは互いに素)なので定理5より $c_{k}$ はmで割り切れる。よってmは $c_{k}$ の約数となる。

また、

$c_{0}m^{k}=-(c_{1}nm^{k-1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +c_{k-1}n^{k-1}m+n^{k}c_{k})$

となり、右辺はnで割り切れるので左辺もnで割り切れる。そして(m,n)=1(mとnは互いに素)なので定理5より $c_{0}$ はnで割り切れる。すなわちnは $c_{0}$ の矢空数である。

(証明終)

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