Fraktální grafika: matematika nebo umění?
•
1 like•371 views
PoŠkole 19. 9. 2017 — Víte, že fraktály jsou všude kolem nás – v horách, mracích, stromech nebo sněhových vločkách? Jak to, že opakováním jednoduchých funkcí dostaneme nekonečnou složitost přírody? Tušíte, jaké obrazy se ukrývají v řešení kvadratické rovnice? O fraktálech a jejich estetice vám bude povídat Tomáš Staudek, absolvent Fakulty informatiky MU, který o počítačovém umění přednáší na Fakultě informačních technologií VUT, a matematiku a algoritmy učí teoretiky interaktivních médií z Filosofické fakulty MU.
Recommended
Recommended
More Related Content
Featured
Featured (20)
Fraktální grafika: matematika nebo umění?
- 1. 1P O Š K O L E 2 0 1 7 POŠKOLE 2017FRAKTÁLNÍ GRAFIKA
- 2. 2P O Š K O L E 2 0 1 7 MATEMATIKA NEBO UMĚNÍ ? POŠKOLE 2017
- 3. 3P O Š K O L E 2 0 1 7 TOMÁŠ STAUDEK POŠKOLE 2017
- 4. 4P O Š K O L E 2 0 1 7 POŠKOLE 2017STAUDEK.DROPPAGES.COM
- 5. 5P O Š K O L E 2 0 1 7 TATO PREZENTACE → goo.gl/coacbZ ← POŠKOLE 2017
- 6. 6P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • Co mají obrazy společného ? • Jsou vypočítané • kreslí je rovnice s vhodnými parametry •
- 7. 7P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • Co mají obrazy společného ? • Jsou vypočítané • kreslí je rovnice s vhodnými parametry • Jsou nekonečně složité • umíme v nich dopočítat libovolně malé detaily • •
- 8. 8P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • Co mají obrazy společného ? • Jsou vypočítané • kreslí je rovnice s vhodnými parametry • Jsou nekonečně složité • umíme v nich dopočítat libovolně malé detaily • Jsou soběpodobné • v detailech se neustále opakují části celku • • •
- 9. 9P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • Co mají obrazy společného ? • Jsou vypočítané • kreslí je rovnice s vhodnými parametry • Jsou nekonečně složité • umíme v nich dopočítat libovolně malé detaily • Jsou soběpodobné • v detailech se neustále opakují části celku • Jsou výtvarně zajímavé • fraktální estetika, výstavy počítačového umění • • • • International Congress of Mathematicians, Madrid 2006
- 10. 10P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • Co mají obrazy společného ? • Jsou vypočítané • kreslí je rovnice s vhodnými parametry • Jsou nekonečně složité • umíme v nich dopočítat libovolně malé detaily • Jsou soběpodobné • v detailech se neustále opakují části celku • Jsou výtvarně zajímavé • fraktální estetika, výstavy počítačového umění • Stojí za nimi jednoduchá matematika • stačí umět sčítat a násobit • • • • • •
- 11. 11P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? Kvadratická rovnice • • • • • • • • • • Pojednání o měření • Avraham bar Chija (1170) ax²+bx+c = 0
- 12. 12P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • • • • • Čísla a, b, c určují počet řešení • (umístění paraboly) • ∆ = b2 − 4ac • Kdy se rovnice rovná nule? • • ∆ > 0 : dvě řešení • • ∆ = 0 : jedno řešení • • ∆ < 0 : žádné řešení • v reálných číslech ax² + bx + c = 0
- 13. 13P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • • • • • • • • • • • • Obchodně průmyslový palác (‚Pavilon A‘), Brno
- 14. 14P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? ? Proč nemá rovnice vždy řešení ?
- 15. 15P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • … přece proto, že odmocnit záporné číslo nejde • Fakt ? Co kdyby taková čísla existovala ? • První úvahy při hledání řešení kubické rovnice • Girolamo Cardano: Ars Magnæ (1545) • Cardano se záporných odmocnin nebojí, nepovažuje je ale za důležité • • Nedbaje duševních útrap, vynásobil jsem 5+√(−15) s 5−√(−15) a dostal 25−(−15). Výsledek je tedy 40. Taková je důvtipnost artmetiky, v níž popsaný extrém se vyjeví natolik nicotným, že ani nestojí za řeč.“ „
- 16. 16P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • Komplexní čísla • • • Rozšíření reálných čísel o imaginární složku • René Descartes, 1637 • Takže už umíme počítat rovnice typu • x2 + 1 = 0 • protože víme, jak odmocňovat záporná čísla • Imaginární jednotka i • Platí: i 2 = −1 z = [ x ; y i ]
- 17. 17P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • Jak zobrazovat komplexní čísla? • • Gaussova rovina • 2D zobrazení s reálnou a imaginární souřadnicí • • • • • • • • sčítání násobení umocňování
- 18. 18P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • Základní věta algebry • Carl Friedrich Gauss, 1799 • • Každá rovnice • a x ⁿ + b x ⁿ⁻¹ + c x ⁿ⁻² + ⋯ = 0 • má v oboru komplexních čísel právě n řešení • • • Problém existence kořenů rovnice je vyřešen — • pro matematiky uzavřená záležitost • Někdy „moc pokroku škodí“, zájem o výzkum rovnic v komplexních číslech na sto let upadá
- 19. 19P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? Co přidat k výpočtu zpětnou vazbu ? ?
- 20. 20P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • Opakováním k fraktálům • Pojďme kvadratickou funkci počítat pořád dokola • „iterovat“ = výsledek umocníme, nový výsledek opět umocníme… • zn+1 = zn² + c , počítáme v komplexních číslech ! • Posloupnost iterací — graf, kterému říkáme „orbita“ • Jak taková orbita vypadá? • • • • • • Pierre Fatou, 1905 Gaston Julia, 1910
- 21. 21P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? zn+1 = zn 2 • • • Předvídatelné chování při c = 0: • • | z0 | < 1 • pevný bod v [0 ; 0 i ] • • | z0 | > 1 • útěk do nekonečna • • | z0 | = 1 • orbitou je kružnice • = hranice mezi konečnem a nekonečnem • • Orbita pro c = 0 :
- 22. 22P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • Jaká je orbita pro c ≠ 0? • • • • • Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles • Gaston Julia (1918) zn+1 = zn² + c
- 23. 23P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • • Absolutní člen c zcela mění charakter výpočtu ! • Zvolím číslo c a procházím všechna čísla z0, pokud zn+1 = zn² + c skončí v nule, číslo z0 obarvím • Pro některé hodnoty z0 a c je obtížné určit, jestli výpočet skončí v nule nebo nekonečnu nespojitá množina množina na hranici spojitosti spojitá množina
- 24. 24P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • Juliova množina • • • • • • • soběpodobná, nekonečně složitá, výtvarně zajímavá, počítaná snadnou aritmetikou → fraktál
- 25. 25P O Š K O L E 2 0 1 7 • Jak vypadá množina všech čísel c, která generují spojité Juliovy množiny ? • Hodnoty c leží uvnitř oblasti se zajímavou hranicí • Benoît Mandelbrot, 1977 • • • • • • • Vizualizace na počítači IBM System / 360 Fraktální grafika: matematika nebo umění?
- 26. 26P O Š K O L E 2 0 1 7 • Mandelbrotova množina • mapa všech spojitých Juliových množin • Při hodnotách c v blízkosti hranice jsou generovány nejzajímavější Juliovy množiny • Tvar Juliovy množiny odpovídá tvaru Mandelbrotovy množiny v okolí bodu c • • • Jeden z nejsložitějších matematických útvarů Fraktální grafika: matematika nebo umění? ➡ goo.gl/heFUS2
- 27. 27P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění?
- 28. 28P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? ➡ http://uberto.marguz.net/• Fractal Forge
- 29. 29P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? Patří tedy fraktály do umění ? ?
- 30. 30P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • Mandelbrotova množina ani Juliovy množiny nejsou samy o sobě uměleckými objekty • Abychom přijali fraktály do estetického světa, musíme v nich hledat nové a nečekané obrazy • • • • • • …podobně jako fotografové hledají správnou kompozici (→ výřez fraktálu) nebo dobré světlo (→ obarvení rovnice) • Ne každý fraktál (stejně jako ne každá fotografie) je uměním
- 31. 31P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění?
- 32. 32P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění?
- 33. 33P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? ➡ http://matek.hu/xaos/• Xaos
- 34. 34P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • Počítáním funkcí v komplexních číslech vzniká jeden typ fraktálů • Ve výtvarné tvorbě můžeme použít (nebo kombinovat) další typy: • Geometricky iterované fraktály • nejen funkce, ale i transformace • Prostorové fraktály • jejich řezy či projekce z 3D nebo 4D • Chaotické fraktály • ‚podivné atraktory‘ dynamických procesů • Přepisovací systémy • inspiraci berou z růstu v přírodě • Náhodné (nepravé) fraktály • opět příroda: modelování terénu • • • • •
- 35. 35P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? ➡ http://chaospro.de/• ChaosPro
- 36. 36P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? Lze kreslit fraktály v prostoru ? ?
- 37. 37P O Š K O L E 2 0 1 7 • Jak se dostat nad rovinu • Komplexní čísla jsou dvojrozměrná (→ Gaussova rovina) • Pro třetí rozměr potřebujeme znát pár triků • • • • • • • • Výškovou souřadnici můžeme dopočítat • podobně jako barevný odstín, např. z průběhu orbity Fraktální grafika: matematika nebo umění?
- 38. 38P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění?
- 39. 39P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění?
- 40. 40P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • Mandelbulb — fraktály prostorových úhlů • Geometrický pohled : • násobení komplexních čísel = rotace • • násobení číslem i ~ otočení o 90 ° • • násobení −1 ~ otočení o 180 ° • • 2. mocnina ~ zdvojnásobení rotačního úhlu • • Co kdyby orbita neležela v rovině • (jak se u komplexních čísel předpokládá) • ale mohla ‚poskakovat v prostoru‘? • Sférický součtový úhel • Daniel White, 2009 • •
- 41. 41P O Š K O L E 2 0 1 7 • Nepříliš zajímavé Rychlý nárůst složitosti pro tradiční vzorec (= atraktivity) pro vyšší řády • zn+1 = zn² + c zn+1 = zn 8 + c • • • • • • • • • • • (pouze jeden ‚odskok‘) (sedminásobný odraz do prostoru) Fraktální grafika: matematika nebo umění?
- 42. 42P O Š K O L E 2 0 1 7 Čerstvý zájem o fraktály po čtyřiceti letech od jejich objevu! Fraktální grafika: matematika nebo umění? ➡ goo.gl/Uvs0qs
- 43. 43P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění?
- 44. 44P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění?
- 45. 45P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? ➡ http://mandelbulb.com/• Mandelbulb 3D
- 46. 46P O Š K O L E 2 0 1 7 • • • • • • • • • • Nic složitějšího než sčítání a umocňování ! • Fraktální grafika: matematika nebo umění? ax ²+ bx + c ∈ R z ²+ c ∈ C z 8 + c ∈ C
- 47. 47P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • • http://www.youtube.com/watch?v=uCwfPVpR_V8 • • • • http://www.youtube.com/watch?v=eAcEKCj5jq8 • • • • http://www.youtube.com/watch?v=uLeCJA-D5cQ •
- 48. 48P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • • http://www.youtube.com/watch?v=jgxPlHxff3I • • • • http://www.youtube.com/watch?v=7TTgAWvIa98 • • • http://www.youtube.com/watch?v=VB-XUoDqYfs •
- 49. 49P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? • • http://www.youtube.com/watch?v=evCD2mvcZOk • • • • http://www.youtube.com/watch?v=H_I7K4xx7u4 • • • http://www.youtube.com/watch?v=iiXdzjdh6KA •
- 50. 50P O Š K O L E 2 0 1 7Fraktální grafika: matematika nebo umění? Chcete vědět víc? http://artgorithms.droppages.com http://twitter.com/artgorithms http://artgorithmic.tumblr.com/