Differentialquotient
Der Differentialquotient ist definiert als der Grenzwert des Differenzenquotienten (mit dem er gerne verwechselt wird!). Er kann auch als die Steigung der Tangente an der Stelle x und damit als die momentane Änderungsrate interpretiert werden. Die Ableitung einer Funktion kann über den Differentialquotienten hergeleitet werden.
Definition
\( \large{ \displaystyle\obrace[\text{Differentialquotient}]{\lim_{h\to 0}\;\ubrace[\text{Differenzenquotient}]{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}}\;\;=\;\;\dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\,f(x)\;\;=\;\;f^{\prime}(x) } \)
Geometrische Herleitung
In der Abbildung rechts kann man sehen, wie sich der Differentialquotient geometrisch herleiten lässt: die Sekante schneidet den Graph von f noch in zwei Punkten. Durch den Grenzwert wird h immer kleiner. Dadurch rücken die beiden Punkte immer näher. Schließlich wird die Sekante zur Tangente und berührt den Graphen von f nur noch in einem Punkt.
